LOS DESCENDIENTES DE CARLOMAGNO

Se cuenta que cierto personaje estaba en extremo orgulloso de ser un descendiente del mismísimo Carlomagno.

Cierto día topó con un matemático de su entorno que le hizo los siguientes cálculos:

"Vd. tiene dos padres, y cada uno de éstos, otros dos; de modo que ya tiene seis ascendientes. Como cada uno de sus cuatro abuelos tiene dos padres, el número de ascendientes que contamos son 14. Y si nos remontamos unas 40 generaciones, el número de antepasados que tiene Vd. es:

2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + .... + 2³⁸ + 2³⁹ + 2⁴⁰ = 2₂ 199 023₁ 255 550

Así que una vez conocida tan extraordinaria cantidad de descendientes del gran Carlomagno, el matemático de nuestra historia pensó "poca sangre noble tiene este buen hombre"; pero siguió sintiéndose muy orgulloso de pertenecer a tan noble cuna.

EL PRECIO DE UN CABALLO

En una de las pocas situaciones de acercamiento entre el guerrero indio Toro Sentado y el General Trust se dio la siguiente circunstancia:

El General Trust admiraba el caballo de Toro Sentado y le propuso que se lo vendiera.

Toro Sentado acepta con esta condición:

- Me ha de pagar un céntimo de peseta por el primer clavo de la herradura del caballo, dos céntimos por el segundo, cuatro por el tercer clavo y así duplicando sucesivamente hasta el último de los 32 clavos de las herraduras.

En principio al General Trust le pareció justa la propuesta, pero cuando hubo de efectuar el pago...

  Tenía que pagar por el caballo la nada despreciable cantidad de:

2³² céntimos, o sea: 42 949 672'95 pesetas
(Casi 43 millones de pesetas)

* Conclusiones:

- No era tan valioso el caballo de Toro Sentado.
- Con ese dinero podía haber comprado todos los caballos de la tribu india.
- El General Trust no era tan rico.
- Toro Sentado se reveló como un muy buen matemático.
- No consta que el General Trust y Toro Sentado ultimaran el trato.
- A partir de esta circunstancia no volvieron a fumar la pipa de la paz.

LA DESCENDENCIA DE UNA PAREJA DE HORMIGAS

Cuando una especie animal encuentra dificultades para reproducirse, la Naturaleza pone remedio y permite que sea inmenso el número de huevos o crías que van a permitir el correcto desarrollo de la especie.

Hagamos un pequeño cálculo para demostrar de qué manera crecería la descendencia de una hormiga y cómo las dificultades que encuentran en el medio, aniquilan millones de ellas.

Supongamos que cada hormiga pone 100 huevos y que en el curso de un verano se alcancen seis generaciones de hormigas. En la primera generación saldrán 100 hormigas, de ellas 50 hembras; de estas 50 hembras, en la segunda generación salen 5000 hormigas, de las cuales 2500 serán hembras ... y siguiendo el proceso, en la sexta generación aparecerían

1 562 500 000 000 hormigas

que puestas en fila, cubrirían unas 20 veces la distancia entre la Tierra y la Luna. Está claro que las cosas no suceden así. Son relativamente pocos huevos los que prosperan y dan lugar a individuos adultos.

LOS DOBLECES DE UNA HOJA DE PAPEL

 
Si doblamos un folio por la mitad, se tienen dos cuartillas y cuatro páginas. Si volvemos a doblar se forman 8 páginas, doblando una tercera vez se obtienen 16, la siguiente vez, se formará un cuadernillo de 32 páginas...

Si dispusiéramos de una hoja de papel suficientemente grande (como la de un periódico), no podríamos doblarla por la mitad muchas veces, llegaría un momento en que el grosor del cuadernillo formado sería tan grande que costaría mucho trabajo.

Como estamos en la sección de "Números muy grandes" veamos algunos ejemplos:

Supongamos una hoja de papel muy fino, papel de seda, de un grosor de tan solo 1 milésima de centímetro:

Si la doblaras 10 veces; el grosor del cuadernillo formado sería:

2¹⁰ = 1024 milésimas de cm = 1 cm aproximadamente.

Si el número de dobleces fueran 17:

2¹⁷ = 131 072 milésimas de cm = 1'3 metros

Si pudiéramos doblarla 27 veces:

2²⁷ = 134 217 728 milésimas de cm = 1342 metros.

Y puestos a imaginar, si pudiéramos hacerle 50 dobleces a la hoja de papel de seda, la pila de papel obtenida alcanzaría una altura sorprendente:

2⁵⁰ = 1 125 899 906 842 624 milésimas de cm = 11 258 999 068 metros.

¡ Más de 11 millones de Km. !

EL INVENTOR DEL AJEDREZ

El rey de Persia fascinado por el juego de ajedrez, quiso conocer y premiar al inventor. Se cuenta que el rey ofreció al matemático oriental el premio que solicitara.

El matemático contestó:

- Me conformo con 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así doblando la cantidad hasta la casilla 64 del tablero de ajedrez.

Ordenó el rey a su visir que preparara el premio solicitado, hizo los cálculos y se dio cuenta que era imposible cumplir la orden.

  Se necesitaría la cantidad de:

2⁶⁴ granos de trigo = 18₃446 744₂073 709₁551 616 granos

¿Sabes leer ese número?:

 Diez y ocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos dieciséis granos de trigo.

En cada kilogramo de trigo caben aproximadamente unos 28 220 granos, por lo que el resultado sería de unas 653 676 260 585 toneladas; que ocuparían un depósito en forma de cubo de algo más de 11'5 kilómetros de lado.

Para producir tal cantidad de trigo se necesitaría estar cultivando la Tierra (incluidos los mares), durante ocho años.

EL PROBLEMA DEL ANDARÍN

Se trata de un hombre de 1,80 m. de estatura que camina sobre el Ecuador y da así toda la vuelta a la Tierra, ¿qué longitud habrá recorrido más su cabeza que sus pies?. ¿Y si lo hace sobre el ecuador de la Luna?.

Solución:

L. cabeza =

L. pies =

Diferencia de longitudes =

11,31 metros

Dando la vuelta a cualquier esfera, la respuesta es la misma.

TRES AMIGOS EN EL BAR

Os voy a contar una vieja historia que muy bien pudiera ser real:
Van tres amigos a tomarse un refresco. Después de tomarlo, al pedir la cuenta, es donde viene el lío:
- Amigos : Camarero, nos trae la cuenta, por favor.

- Camarero: Son 300 pesetas, caballeros.
Y cada uno de ellos pone 100 pesetas.
Cuando el camarero va a poner el dinero en caja, lo ve el jefe y le dice:
- Jefe : No, esos son amigos míos. Cóbrales solo 250 ptas.

 
El camarero se da cuenta que si devuelve las 50 ptas. puede haber problema para repartirlas y decide lo siguiente:
- Camarero: Ya está. Me quedaré 20 ptas. y les devuelvo 30, diez para cada uno.
Les devuelve a cada uno 10 ptas.

Ahora es cuando viene el follón. Si cada uno puso 100 ptas. y le devuelven 10 ptas, realmente puso cada uno de ellos 90 ptas.
90 x 3 = 270 ptas. Si añadimos las 20 que se queda el camarero, 290 ptas.......

¿ DÓNDE ESTÁN LAS OTRAS 10 PESETAS ?

TERENCIO, EL JUGADOR METÓDICO

Terencio es un jugador empedernido que cuando dispone de dinero se lo juega a los dados. Siempre lo hace de la misma forma: gane o pierda, apuesta la mitad del dinero que tiene; a la segunda jugada, apuesta la mitad del dinero que tiene entonces; en la tercera jugada, la mitad de lo que tiene después de la segunda; y así sucesivamente.

Cierta tarde tenía 16 euros y jugó 6 veces, ganó tres y perdió otras tres.

¿Con cuánto dinero acaba?

Solución:

El orden de pérdidas y ganancias es indiferente, acaba perdiendo 9 euros y 25 céntimos

Distintos supuestos:

1ª jugada: Apuesta 8 y gana ...........Tiene 16 + 8 = 24

2ª jugada: Apuesta 12 y gana .........Tiene 24 + 12 = 36

3ª jugada: Apuesta 18 y gana .........Tiene 36 + 18 = 54

4ª jugada: Apuesta 27 y pierde ........Tiene 54 - 27 = 27

5ª jugada: Apuesta 13'5 y pierde ...Tiene 27 - 13'5 = 13'5

6ª jugada: Apuesta 6'75 y pierde ...Tiene 13'5 - 6'75 = 6'75

Si disponía de 16 euros y termina con 6'75, ha perdido 9'25 euros

1ª jugada: Apuesta 8 y pierde .................Tiene 16 - 8 = 8

2ª jugada: Apuesta 4 y pierde .................Tiene 8 - 4 = 4

3ª jugada: Apuesta 2 y pierde .................Tiene 4 - 2 = 2

4ª jugada: Apuesta 1 y gana ....................Tiene 2 + 1 = 3

5ª jugada: Apuesta 1'5 y gana .................Tiene 3 + 1'5 = 4'5

6ª jugada: Apuesta 6'75 y gana ...............Tiene 4'5 + 2'25 = 6'75

Si disponía de 16 euros y termina con 6'75, también ha perdido 9'25 euros

1ª jugada: Apuesta 8 y gana ............Tiene 16 + 8 = 24

2ª jugada: Apuesta 12 y pierde ...........Tiene 24 - 12 = 12

3ª jugada: Apuesta 6 y gana ................Tiene 12 + 6 = 18

4ª jugada: Apuesta 9 y pierde .............Tiene 18 - 9 = 9

5ª jugada: Apuesta 4'5 y gana .............Tiene 9 + 4'5 = 13'5

6ª jugada: Apuesta 6'75 y pierde ........Tiene 13'5 - 6'75 = 6'75

Si disponía de 16 euros y termina con 6'75, también pierde 9'25 euros

PODEMOS USAR LA BALANZA UNA SOLA UNA VEZ

Tenemos 10 cestas de bombones y cada bombón ha de pesar 10 gramos.

Al disponernos a venderlos hay una cesta en la que los bombones sólo pesan 9 gramos, pero el inconveniente es que no sabemos de qué cesta se trata. El reto consiste en descubrir la cesta que tiene los bombones de 9 gramos con una sola pesada (podemos usar la balanza una sola vez).

Solución:

Ordenamos las cestas en un orden cualquiera.

Cogemos un bombón de la primera cesta, dos de la segunda, tres de la tercera, etc., y nueve de la novena.

Si la pesada de los bombones da 10 + 20 + 30 + ..... + 90 = 450 gramos, las cestas serán correctas y la defectuosa será la décima. Pero si la pesada es de 450 -1 = 449 g. la cesta defectuosa será la primera; si da 450 - 2 = 448 g. será la segunda. Si obtenemos 450 - 3 = 447 g. será la tercera cesta la defectuosa y así si da 450 - 9 = 441 g., será la novena.

LOS TRES HIJOS DE D. ALFONSO

Dos sabios matemáticos, Dª. Eva y D. Alfonso, paseaban por calle cuando Dª. Eva preguntó a su colega D. Alfonso:
- ¿Tiene Vd. hijos?
- Sí, tengo tres.
- ¿Cuántos años tienen?
- El producto de sus edades es 36 y la suma de sus edades es igual al número de la casa de enfrente.
Dª. Eva se quedó pensando y después de mirar el número de la casa de enfrente dijo a D. Alfonso:
- Me falta un dato.
- Es cierto, mi hijo mayor se llama Alfonso como yo.
Con este nuevo dato Dª. Eva ya pudo calcular las edades de los tres hijos de D. Alfonso.

Solución:

Factores del producto 36:-----------------La suma de las edades vale:

1 x 1 x 36 ----------------------------------------- 38

1 x 2 x 18 ----------------------------------------- 21

1 x 3 x 12 ----------------------------------------- 16

1 x 4 x 9 ------------------------------------------- 14

1 x 6 x 6 ------------------------------------------- 13

2 x 2 x 9 ------------------------------------------- 13

2 x 3 x 6 ------------------------------------------- 11

3 x 3 x 4 ------------------------------------------- 10

Al faltar un dato, la suma de las edades debe ser 13 porque es la suma que aparece repetida. O había un hijo de 1 año y dos gemelos de 6 (en este caso hay dos hijos mayores y no uno), o bien, el mayor de 9 años y dos gemelos de 2 años que fue la respuesta de Dª. Eva.

DOS CICLISTAS Y UNA MOSCA

Dos ciclistas parten de dos ciudades distantes entre sí 50 km. al encuentro el uno del otro a la velocidad de 25 km/h. Una mosca sale desde una de las bicicletas hacia la otra, volando a 42 km/h.

Cuando encuentra a la otra, regresa hacia la primera, siempre a la misma velocidad; así hasta que los dos ciclistas se encuentran. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido la mosca en este vaivén?

Solución

 Está claro que los ciclistas que están a 50 km. el uno del otro, y que circulan a 25 km/h, se encuentran en UNA hora, es el mismo tiempo que está la mosca volando de una bicicleta a otra a la velocidad de 42 km/h, por tanto recorrerá 42 kilómetros.

LA MADRE DE TODAS LAS BATALLAS

Lewis Carroll, matemático y escritor británico cuyo verdadero nombre es Charles Lutmidge Dogson lo conocemos principalmente por su obra "Alicia en el país de las maravillas", y siempre ha manifestado su interés por lo absurdo, los acertijos y la confusión.

Un problema que se atribuye a él es el siguiente:

 En una extraordinaria batalla, por lo menos el 70% de los combatientes perdió un ojo; el 75% una oreja, por lo menos el 80% perdió una mano y el 85% una pierna. ¿Cuántos, por lo menos perdieron los cuatro órganos?

Solución:

 Por lo menos el 45% perdió el ojo y la oreja:

 Por lo menos el 65% perdió la mano y la pierna:

 Por lo menos el 10% perdió los cuatro órganos: